封面图片 PID:1628397182442

前置知识，包括但不限于：

  1. 数学分析
  2. 常微分方程
  3. 大学物理
  4. 实变函数与泛函分析
  5. 高等代数
  6. 复变函数

文中涉及对狄拉克函数 $\delta(x)$ 和单位跃阶函数 $H(x)$ 的微分和积分均为广义微分和广义积分！

前置内容

1. 方程的解

  若某个函数满足如下条件

  1. 在指定区域内连续
  2. 具有方程中所出现的一切偏导数
  3. 将该函数代入方程能使方程成立

则该函数称为方程在指定区域的解。

2. 叠加原理

  1. 设 $u_i$ 满足线性方程
    $$Lu_i = f_i, i = 1, 2, 3, \cdots, n$$
    则它们的线性组合 $u = \sum_{i = 1}^n C_i u_i$ 满足方程
    $$Lu = \sum_{i = 1}^n C_i f_i$$
    特别的，当 $f_i = 0$ 时，即方程为齐次方程时， $u$ 也满足该齐次方程。
  2. 设 $u_i$ 满足线性方程
    $$Lu_i = f_i, i = 1, 2, 3, \cdots, n$$
    则它们在求解区域内一致收敛的线性组合 $u = \sum_{i = 1}^{\infty} C_i u_i$ 满足方程
    $$Lu = \sum_{i = 1}^{\infty} C_i f_i$$
    特别的，当 $f_i = 0$ 时，即方程为齐次方程时， $u$ 也满足该齐次方程。

3. 傅里叶变换及其性质与证明

若 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 有定义且绝对可积，则 $f(x)$ 的傅里叶变换为
$$g(\lambda) = \mathcal{F}[f] = \int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) e^{-i\lambda \xi} d\xi \tag{3.1}$$
其傅里叶逆变换为
$$f(x) = \mathcal{F}^{-1}[g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i\lambda x} d\lambda \tag{3.2}$$

3.1 线性性质

对于任意复数 $\alpha, \beta$ 以及函数 $f_1, f_2$ 下式成立
$$\mathcal{F}[\alpha f_1 + \beta f_2] = \alpha \mathcal{F}[f_1] + \beta \mathcal{F}[f_2] \tag{3.3}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[\alpha f_1 + \beta f_2] &= \int_{-\infty}^{\infty} [\alpha f_1(\xi) e^{-i\lambda \xi} + \beta f_2(\xi) e^{-i\lambda \xi}] d\xi \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \alpha f_1(\xi) e^{-i\lambda \xi} d\xi + \int_{-\infty}^{\infty} \beta f_2(\xi) e^{-i\lambda \xi} d\xi \\
&= \alpha \mathcal{F}[f_1] + \beta \mathcal{F}[f_2]
\end{aligned}
$$

3.2 卷积性质

若已知函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$，则称积分
$$\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x - \xi) f_2(\xi) d\xi$$
为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 的卷积，记为 $f_1(x)\ast f_2(x)$ 或 $f_1 \ast f_2$ 。显然 $f_1(x)\ast f_2(x) = f_2(x)\ast f_1(x)$ 。

$f_(x)$ 与 $f_(x)$ 卷积的傅里叶变换等于 $f_(x)$ 与 $f(x)$ 的傅里叶变换的乘积，即
$$\mathcal{F}[f_1 \ast f_2] = \mathcal{F}[f_1] \cdot \mathcal{F}[f_2] \tag{3.4}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[f_1 \ast f_2] &= \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x - \xi)f_2(\xi)d\xi]e^{-i\lambda x}dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\lambda x}dx\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x - \xi)f_2(\xi)d\xi \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(\xi)d\xi\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x - \xi)e^{-i\lambda x}dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(\xi)d\xi\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\eta)e^{-i\lambda (\xi + \eta)}d\eta \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(\xi)e^{-i\lambda \xi}d\xi\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\eta)e^{-i\lambda \eta}d\eta \\
&= \mathcal{F}[f_1] \cdot \mathcal{F}[f_2]
\end{aligned}
$$

$f_(x)$ 与 $f(x)$ 乘积的傅里叶变换等于 $f_(x)$ 与 $f(x)$ 的傅里叶变换的卷积乘以 $\frac{1}{2\pi}$ ，即
$$\mathcal{F}[f_1 \cdot f_2] = \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}[f_1] \ast \mathcal{F}[f_2] \tag{3.5}$$

证明

分别记 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 的傅里叶变换为 $F_1(\lambda) = \mathcal{F}[f_1]$ 与 $F_2(\lambda) = \mathcal{F}[f_2]$
则

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[f_1] \ast \mathcal{F}[f_2] &= \int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\xi)F_2(\lambda - \xi)d\xi \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t_1)e^{-i\xi t_1}dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t_2)e^{-i(\lambda - \xi) t_2}dt_2 d\xi \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(t_1 - t_2)\xi} d\xi \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t_1)dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t_2)e^{-i\lambda t_2}dt_2 \\
&= 2\pi \delta(t_1 - t_2)\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t_1)dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t_2)e^{-i\lambda t_2}dt_2 \\
&= 2\pi \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t_1)dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t_2)e^{-i\lambda t_2}\delta(t_1 - t_2) dt_2 \\
&= 2\pi \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t_1)f_2(t_1)e^{-i\lambda t_2}dt_1 \\
&= 2\pi \mathcal{F}[f_1 \cdot f_2]
\end{aligned}
$$

3.3 微分性质

若 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 均满足傅里叶变换条件，而且当 $|x|\rightarrow \infty$ 时 $f(x) \rightarrow 0$ ，则成立关系式
$$\mathcal{F}[f^{\prime}(x)] = i\lambda \mathcal{F}[f(x)] \tag{3.6}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[f^{\prime}(x)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}f^{\prime}(x)e^{-i\lambda x}dx \\
&= [f^{\prime}(x)e^{-i\lambda x}] \mid_{-\infty}^{+\infty} + i\lambda \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx \\
&= i\lambda \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx \\
&= i\lambda \mathcal{F}[f(x)]
\end{aligned}
$$

若 $f(x)$ 与 $xf(x)$ 均满足傅里叶变换条件，则成立关系式
$$\mathcal{F}[-ixf(x)] = \frac{d}{d\lambda} \mathcal{F}[f(x)] \tag{3.7}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[-ixf(x)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}[-ixf(x)e^{-i\lambda x}]dx \\
&= \frac{d}{d\lambda} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx \\
&= \frac{d}{d\lambda} \mathcal{F}[f(x)]
\end{aligned}
$$

3.4 位移性质

函数 $f(x)$ 沿 $x$ 轴向左或向右位移 $x_0$ 的傅里叶变换，等于 $f(x)$ 的傅里叶变换乘以因子 $e^{i\lambda x_0}$ 或 $e^{i\lambda x_0}$ ，即
$$\mathcal{F}[f(x \pm x_0)] = e^{\pm i\lambda x_0} \mathcal{F}[f(x)] \tag{3.8}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[f(x \pm x_0)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x \pm x_0)e^{-i\lambda x}dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)e^{-i\lambda (\xi \mp x_0)}d\xi \\
&= e^{\pm i\lambda x_0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)e^{-i\lambda \xi}d\xi
\end{aligned}
$$

3.5 积分性质

若 $\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\int_{-\infty}^{x} f(x)dx = 0$ ，则
$$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^{x} f(x)dx] = \frac{1}{i \lambda}\mathcal{F}[f(x)] \tag{3.9}$$

证明

因为 $\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\int_{-\infty}^{x} f(x)dx = 0$ ，则
$$\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{x} f(x)dx = f(x)$$
所以
$$\mathcal{F}[\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{x} f(x)dx] = \mathcal{F}[f(x)]$$
又由 3.3 的微分性质，有
$$\mathcal{F}[\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{x} f(x)dx] = i\lambda \mathcal{F}[\int_{-\infty}^{x} f(x)dx]$$
故
$$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^{x} f(x)dx] = \frac{1}{i \lambda}\mathcal{F}[f(x)]$$

$$
\begin{aligned}
\end{aligned}
$$

4. 拉普拉斯变换及其性质与证明

拉普拉斯变换存在定理

若函数 $f(t)$ 满足下列条件
(1) 在 $t \ge 0$ 的任一有限区间上分段连续；
(2) 当 $t \rightarrow +\infty$ 时，$f(t)$ 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 $M > 0$ 及 $c \ge 0$，使得
$$\mid f(t) \mid \le Me^{ct}, 0 \le t \le +\infty$$
成立；
则函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换
$$L(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$$
在半平面 $Re(s) > c$ 上一定存在，此时右端积分绝对且一致收敛，在此半平面内 $L(s)$ 为解析函数。

若 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 内有定义，且积分
$$\int_{0}^{+\infty}f(x)e^{-st}dx$$
在 $s$ 的某一区域内收敛（其中 $s = \sigma + i\omega$ 是复参量），则 $f(x)$ 的拉普拉斯变换为
$$L(s) = \mathcal{L}[f(x)] = \int_{0}^{+\infty}f(x)e^{-sx}dx \tag{4.1}$$
逆变换为
$$f(x) = \mathcal{L}^{-1}[L(s)] = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma - \infty}^{\sigma + \infty}L(s)e^{sx}ds \tag{4.2}$$

4.1 线性性质

$$\mathcal{L}[\alpha f_1(t) + \beta f_2(t)] = \alpha\mathcal{L}[f_1(t)] + \beta\mathcal{L}[f_2(t)] \tag{4.3}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[\alpha f_1(t) + \beta f_2(t)] &= \int_{0}^{+\infty}\alpha f_1(x)e^{-sx}dx + \int_{0}^{+\infty}\beta f_2(x)e^{-sx}dx \\
&= \alpha\int_{0}^{+\infty}f_1(x)e^{-sx}dx + \beta\int_{0}^{+\infty}f_2(x)e^{-sx}dx \\
&= \alpha\mathcal{L}[f_1(t)] + \beta\mathcal{L}[f_2(t)]
\end{aligned}
$$

4.2 相似性质

$$\mathcal{L}[f(at)] = \frac{1}{a}\mathcal{L}[f(\frac{s}{a})], a > 0 \tag{4.4}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(at)] &= \int_{0}^{+\infty}f(at)e^{-st}dt \\
&= \frac{1}{a}\int_{0}^{+\infty}f(u)e^{-s\frac{u}{a}}du \\
&= \frac{1}{a}\mathcal{L}[f(\frac{s}{a})]
\end{aligned}
$$

4.3 位移性质

$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-(s - a)t}dt = L(s - a), Re(s - a) > c \tag{4.5}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[e^{at}f(t)] &= \int_{0}^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt \\
&= \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-(s - a)t}dt \\
&= L(s - a)
\end{aligned}
$$

4.4 延迟性质

$$\mathcal{L}[f(t - \tau)] = e^{-s \tau}\mathcal{L}[f(t)] \tag{4.6}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t - \tau)] &= \int_{0}^{+\infty}f(t - \tau)e^{-st}dt \\
&= \int_{0}^{+\infty}f(u)e^{-s(u + \tau)}du \\
&= e^{-s \tau}\mathcal{L}[f(t)]
\end{aligned}
$$

4.5 微分性质

若 $f^{\prime}(t)$ 在 $t \ge 0$ 分段连续，则
$$\mathcal{L}[f^{\prime}(t)] = s\mathcal{L}[f(t)] - f(0) \tag{4.7}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[^{\prime}(t)] &= \int_{0}^{+\infty}f^{\prime}(t)e^{-st}dt \\
&= f(t)e^{-st}\mid_{0}^{+\infty} + s\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \\
&= s\mathcal{L}[f(t)] - f(0)
\end{aligned}
$$

  1. 推论
    若 $f(t)$ 在 $t \ge 0$ 分段连续且具有 $n(n \ge 1)$ 次微分，则
    $$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^n\mathcal{L}[f(t)] - \sum_{k = 1}^{n}s^{n - k}f^{k - 1}(0) \tag{4.8}$$
证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] &= s\mathcal{L}[f^{n - 1}(t)] - f^{n - 1}(0) \\
&= s[s\mathcal{L}[f^{n -2}(t)] - f^{n - 2}(0)] - f^{n - 1}(0) \\
&= s^n\mathcal{L}[f(t)] - \sum_{k = 1}^{n}s^{n - k}f^{k - 1}(0)
\end{aligned}
$$

4.6 积分性质

$$\mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(t)dt] = \frac{1}{s}\mathcal{L}[f(t)] \tag{4.9}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(t)dt] &= \int_{0}^{+\infty}[\int_{0}^{t}f(t)dt]e^{-st}dt \\
&= -\frac{1}{s}e^{-st}[\int_{0}^{t}f(t)dt]\mid_{0}^{+\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \\
&= \frac{1}{s}\mathcal{L}[f(t)]
\end{aligned}
$$

  1. 推论
    若令 $F(t) = \int_{0}^{t}dt \cdots \int_{0}^{t}f(t)dt$，即 $F(t)$ 是 $f(t)$ 在区间 $[0, t]$ 上的 $n$ 重积分，则
    $$\mathcal{L}[F(t)] = \frac{1}{s^n}\mathcal{L}[f(t)] \tag{4.10}$$

4.7 卷积性质

卷积定义

若 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 在 $t \ge 0$ 有定义，则称积分
$$\int_{0}^{t}f_1(\tau)f_2(t - \tau)d\tau$$
为 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的卷积，记为 $f_1(x)\ast f_2(x)$ 或 $f_1 \ast f_2$ 。显然 $f_1(x)\ast f_2(x) = f_2(x)\ast f_1(x)$。
实质上，拉普拉斯变换与傅里叶变换的卷积定义是一致的。

若 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 满足拉普拉斯变换存在定理条件，且 $\mathcal{L}[f_1(t)] = L_1(s)$ 和 $\mathcal{L}[f_2(t)] = L_2(s)$，则 $f1(t) \ast f_2(t)$ 的拉普拉斯变换一定存在，且
$$\mathcal{L}[f_1(t) \ast f_2(t)] = L_1(s) \cdot L_2(s] \tag{4.11}$$

证明

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f_1(t) \ast f_2(t)] &= \int_{0}^{+\infty}[\int_{0}^{t}f_1(\tau)f_2(t - \tau)dt]e^{-st}dt \\
&= \int_{0}^{t}[\int_{0}^{+\infty}f_1(\tau)e^{-s\tau}f_2(t - \tau)e^{-st}]dt d\tau \\
&= \int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau \int_{0}^{+\infty}f_2(t - \tau)e^{-s\tau}dt \\
&= \int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau \int_{0}^{+\infty}f_2(u)e^{-s(u + \tau)}du \\
&= \int_{0}^{t}f_1(\tau)e^{-s \tau}d\tau \int_{0}^{+\infty}f_2(u)e^{-su}du \\
&= \mathcal{L}[f_1(t)] \cdot \mathcal{L}[f_2(t)]
\end{aligned}
$$

逆变换满足

$$\mathcal{L}^{-1}[L_1(s) \cdot L_2(s)] = f_1(t) \ast f_2(t) \tag{4.12}$$

证明

$$\because \mathcal{L}[f_1(t) \ast f_2(t)] = \mathcal{L}^{-1}[L_1(s) \cdot L_2(s)]$$
同时对等式两边做逆变换
$$\therefore f_1(t) \ast f_2(t) = \mathcal{L}^{-1}[L_1(s) \cdot L_2(s)]$$

5. 狄拉克函数及其性质

5.1 狄拉克函数

若某函数 $\delta(x)$ 同时满足如下条件
(1) $$\delta(x) = \begin{cases} 0, & x \neq 0 \\ \infty, & x = 0 \end{cases} \tag{5.1}$$
(2) $$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = 1 \tag{5.2}$$
则称 $\delta(x)$ 为狄拉克函数。

5.2 狄拉克函数的性质

  1. $\delta$ 函数对任一个连续函数满足
    $$\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x) \delta(x)dx = \phi(0) \tag{5.3}$$
    $$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x - \lambda) \phi(x)dx = \phi(\lambda) \tag{5.4}$$
  2. 以三维空间为例，使用 $x, y, z$ 表示坐标，则 $\delta(x, y, z)$ 对空间中任一连续函数 $\phi(x, y, z)$ 满足
    $$\iiint_{-\infty}^{+\infty}\phi(x, y, z) \delta(x, y, z)dxdydz = \phi(0, 0, 0) \tag{5.5}$$
    称 $\delta(x, y, z)$ 为三维 $\delta$ 函数。
  3. 三维或更高维 $\delta$ 函数可以看作三个或多个一维的狄拉克函数的乘积
    $$\delta(x, y, z) = \delta(x) \delta(y) \delta(z) \tag{5.6}$$
  4. 对任一连续函数 $\phi$
    $$\iiint_{-\infty}^{+\infty}\phi(x, y, z)\delta(x - \sigma, y - \alpha, z - \gamma) dxdydz = \phi(\sigma, \alpha, \gamma) \tag{5.7}$$
  5. $\delta$ 函数是偶函数
    $$\delta(x - \sigma) = \delta(\sigma - x) \tag{5.8}$$
  6. 对 $\forall x \in \mathbb{R}$
    $$x\delta(x) = 0 \tag{5.9}$$
  7. 一维 $\delta$ 函数可以看作单位跃阶函数 $H(x)$ 的广义导数
    $$\delta(x) = \frac{dH(x)}{dx} \tag{5.10}$$
    其中 $$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$
    即 $\delta(x)$ 的原函数是 $H(x)$，事实上
    $$\int_{-\infty}^{x}\delta(x)dx = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \tag{5.11}$$

5.3 狄拉克函数的傅里叶变换

$\delta$ 函数的傅里叶变换为
$$\mathcal{F}[\delta(x)] = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-i\lambda x}dx = e^{-i\lambda x}\mid_{x = 0} = 1 \tag{5.12}$$
即 $\delta(x)$ 与常数 $1$ 构成傅里叶变换对，即有
$$\mathcal{F}^{-1}[1] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}dx = \delta(x) \tag{5.13}$$
此外常数 $1$ 也与 $2\pi \delta(x)$ 构成一个傅里叶变换对
$$\mathcal{F}[1] = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\lambda x}dx = 2\pi \delta(x) \tag{5.14}$$
推广得
$$\mathcal{F}[e^{i\lambda_{0}x}] = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(\lambda - \lambda_{0})x}dx = 2\pi \delta(\lambda - \lambda_{0}) \tag{5.15}$$

5.4 单位跃阶函数的傅里叶变换及其证明

单位跃阶函数 $H(x)$ 的傅里叶变换为

$$\mathcal{F}[H(x)] = \frac{1}{i\lambda} + \pi \delta(\lambda) \tag{5.17}$$

证明

设函数 $f(x)$ 满足
$$\mathcal{F}[f(x)] = \frac{1}{i\lambda} + \pi \delta(\lambda)$$
则有

$$
\begin{aligned}
f(x) &= \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{i\lambda} + \pi \delta(\lambda)] \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}[\frac{1}{i\lambda} + \pi \delta(\lambda)]e^{i\lambda x}dx \\
&= \frac{1}{2\pi} [\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\lambda x}}{i\lambda}dx + \pi \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\lambda)e^{i\lambda x}dx] \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\lambda x}}{i\lambda}dx + \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\lambda x}}{\lambda}dx + \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

根据
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\omega}}{\omega}d\omega = \frac{\pi}{2}$$
得
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\lambda x}}{\lambda}dx = \begin{cases} -\frac{\pi}{2}, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ \frac{\pi}{2}, & x > 0 \end{cases}$$
则
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\lambda x}}{\lambda}dx + \frac{1}{2} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$
即
$$f(x) = H(x)$$

因此，单位跃阶函数 $H(x)$ 与 $\frac{1}{i\lambda} + \pi \delta(\lambda)$ 构成傅里叶变换对，所以单位跃阶函数 $H(x)$ 的积分表达式写为
$$H(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\lambda x}}{\lambda}dx + \frac{1}{2}$$

1. 齐次方程与齐次有限边界条件

1.1 波动方程

以有界弦的自由振动为例，其振动满足如下方程

$$
\begin{cases}
u_{tt} = a^2u_{xx}, & 0 < x < l, t > 0 \\
u(x, 0) = \varphi(x), & u_t(x, 0) = \psi(x) \\
u(0, t) = 0 , & u(l, t) = 0
\end{cases} \tag{1.1}
$$

1.1.1 分离变量法

考虑有界弦的振动，基于如下三个基本事实

基本事实
  1. 物理上的有界弦振动满足波动方程，其解 $u(x, t)$ 亦是一个波。
  2. 任何一个波都可分解为简谐波的叠加。即$$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{+\infty}[ A_n \sin(B_nt - C_nx) + D_n\cos(E_nt - F_nx)]$$
  3. 简谐波，形如 $A_n\sin(B_nt - C_nt)$ 可以分离变量 $x$ ，$t$。$$A_n\sin(B_nt - C_nt) = A_n \sin(B_nt)\cos(C_nx) - A_n \cos(B_nt)\sin(C_nx)$$记 $X_1(x) = \cos(C_nx), T_1(t) = A_n \sin(B_nt); X_2(x) = \sin(C_nx), T_2(t) = A_n \cos(B_nt)$ 则有$$A_n\sin(B_nt - C_nt) = \sum_{m = 1}^2X_m(x)T_m(t)$$通过对求和指标重新编号，波动方程的解总可以写为$$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{+\infty}X_n(x)T_n(t)$$
1.1.1.1 第一步，分离变量，建立特征值问题

设 $u(x, t) = X(x)T(t)$，则
$$\begin{cases}u_{tt} = X(x) T^{\prime \prime}(t) & \text{(1.1.1)}\\ u_{xx} = X^{\prime \prime}(x) T(t) & \text{(1.1.2)}\end{cases}$$
将上述式子代入到方程 (1.1) 得
$$X(x)T(t)^{\prime \prime} = a^2X^{\prime \prime}(x)T(t) \tag{1.1.3}$$

从而

$$\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = \frac{T^{\prime \prime}(t)}{a^2T(t)} = -\lambda \tag{1.1.4}$$
分离得
$$\begin{cases}X(x)^{\prime \prime} + \lambda X(x) = 0 & \text{(1.1.5)}\\ T(t)^{\prime \prime} + \lambda a^2T(t) = 0 & \text{(1.1.6)}\end{cases}$$
由边界条件
$$\begin{cases}u\mid_{x = 0} = X(0)T(t) = 0 & \Rightarrow X(0) = 0 & \text{(1.1.7)}\\ u\mid_{x = l} = X(l)T(t) = 0 & \Rightarrow X(l) = 0 & \text{(1.1.8)}\end{cases}$$

1.1.1.2 第二步，求解特征值和特征函数

由式 (1.1.4) 和 (1.1.6)，(1.1.7) 得到如下常微分方程
$$\begin{cases}X(x)^{\prime \prime} + \lambda X(x) = 0 & \\ X(0) = 0, & X(l) = 0\end{cases} \tag{1.1.9}$$
其特征方程为
$$r^2 + \lambda = 0 \tag{1.1.10}$$
特征方程的解
$$r_{1,2} = \pm \sqrt{-\lambda}$$
分情况进行讨论

  1. $\lambda < 0$：则此常微分方程的通解为
    $$X(x) = Ae^{\sqrt{-\lambda x}} + Be^{-\sqrt{-\lambda x}}$$
    由式 (1.1.7) 和 (1.1.8) 得
    $$\begin{cases}A + B = 0 & \Rightarrow A = 0 \\ Ae^{\sqrt{-\lambda l}} + Be^{-\sqrt{-\lambda l}} = 0 & \Rightarrow B = 0\end{cases} \tag{1.1.11}$$
    此时 $X(x) = 0, u(x, t) = 0$，故 $\lambda < 0$ 无意义；
  2. $\lambda = 0$：则此常微分方程的通解为
    $$X(x) = Ax + B$$
    由式 (1.1.7) 和 (1.1.8) 得
    $$\begin{cases}A + B = 0 & \Rightarrow A = 0 \\ Al + B = 0 & \Rightarrow B = 0\end{cases} \tag{1.1.12}$$
    此时 $X(x) = 0, u(x, t) = 0$，故 $\lambda = 0$ 无意义；
  3. $\lambda > 0$：取 $\lambda = \omega^2, \omega > 0$，所以 $r_{1, 2} = \pm \omega i$，则此常微分方程的通解为
    $$X(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$$
    由式 (1.1.7) 和 (1.1.9) 得
    $$\begin{cases}A\cos(0) + B\sin(0) = 0 & \Rightarrow A = 0 \\ A\cos(\omega l) + B\sin(\omega l) = 0 & \Rightarrow B\sin(\omega l) = 0\end{cases} \tag{1.1.13}$$
    可得 $\omega l = k\pi$，所以 $\omega_k = \frac{k\pi}{l},k = 1, 2, 3, \cdots$
    则特征方程的通解为
    $$X_k(x) = B\sin(\frac{k\pi x}{l}),\phantom ,\lambda_k = \frac{k^2\pi^2}{l^2}, \phantom ,k = 1, 2, 3, \cdots \tag{1.1.14}$$
    另一方面，由式 $(1.1.6)$ 易知 $T(t)$ 满足
    $$T_k(t)^{\prime \prime} + a^2\lambda_k T_k(t) = 0 ,\phantom , k = 1, 2, 3, \cdots \tag{1.1.15}$$
    则可易解得
    $$T_k(t) = C_k\cos(\frac{k\pi a}{l}t) + D_k\sin(\frac{k\pi a}{l}t), \phantom ,k = 1, 2, 3, \cdots \tag{1.1.16}$$所以 $B*C_k 与 B*D_k 均为常数，故省去B$ $$u_k(x, t) = X_k(x)T_(t) = [C_k\cos(\frac{k\pi a}{l}t) + D_k\sin(\frac{k\pi a}{l}t)]\sin(\frac{k\pi x}{l}), \phantom ,k = 1, 2, 3, \cdots \tag{1.1.17}$$
1.1.1.3 第三步，叠加

由式 $(1.1.17)$ 得
$$u(x, t) = \sum_{k = 1}^{\infty}u_k(x, t) = \sum_{k = 1}^{\infty} [C_k\cos(\frac{k\pi a}{l}t) + D_k\sin(\frac{k\pi a}{l}t)]\sin(\frac{k\pi x}{l}) \tag{1.1.8}$$

1.1.1.4 第四步，确定系数并求解

由初始条件得

$$
\begin{cases}
u(x, 0) = \varphi(x) & \Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty}C_k\sin(\frac{k\pi}{l}x) = \varphi(x) & \text{(1.1.19)} \\
u_t(x, 0) = \psi(x) & \Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty}D_k\frac{k\pi a}{l}\sin(\frac{k\pi}{l}x) = \psi(x) & \text{(1.1.20)}
\end{cases}
$$

由傅里叶级数易解得

$$
\begin{cases}
C_k = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}\varphi(x)\sin(\frac{k\pi}{l}x)dx & \text{(1.1.21)} \\
D_k = \frac{2}{k\pi a}\int_{0}^{l}\psi(x)\sin(\frac{k\pi}{l}x)dx & \text{(1.1.22)}
\end{cases}
$$

则此波动方程的解为

$$
\begin{aligned}
u(x, t) = \sum_{k = 1}^{\infty} [C_k\cos(\frac{k\pi a}{l}t) + D_k\sin(\frac{k\pi a}{l}t)]\sin(\frac{k\pi x}{l}) \\
C_k = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}\varphi(x)\sin(\frac{k\pi}{l}x)dx\\
D_k = \frac{2}{k\pi a}\int_{0}^{l}\psi(x)\sin(\frac{k\pi}{l}x)dx
\end{aligned} \tag{1.1.23}
$$